Le théorème de Pythagore est le premier grand théorème du collège, et celui qui tombe le plus souvent au brevet. Il ne dit qu'une chose : dans un triangle rectangle, les longueurs des trois côtés sont liées par une égalité. Toute la difficulté est de savoir dans quel sens on l'utilise — calculer une longueur quand on sait que le triangle est rectangle, ou prouver qu'un triangle est rectangle quand on connaît ses trois côtés. Cette fiche A4 sépare nettement ces deux usages et donne la rédaction attendue.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long des trois côtés, et c'est lui, tout seul, qui est au carré d'un côté de l'égalité.
💡 Le triangle 3-4-5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². C'est le plus simple des triangles rectangles à côtés entiers, et un excellent moyen de vérifier qu'on a compris le théorème. Les autres à connaître : 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17.
Calculer une longueur (le triangle est rectangle)
Calculer l'hypoténuse : ABC rectangle en A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. BC² = AB² + AC² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm (le nombre dont le carré est 100).
Calculer un autre côté : ABC rectangle en A, BC = 13 cm, AB = 5 cm. BC² = AB² + AC², donc AC² = BC² − AB² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12 cm. On soustrait quand on cherche un côté de l'angle droit.
Quand le résultat ne tombe pas juste : si BC² = 50, on écrit BC = racine carrée de 50, soit environ 7,07 cm. On garde la valeur exacte et on arrondit seulement à la fin.
Prouver qu'un triangle est rectangle (la réciproque)
La réciproque : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
La méthode : on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare. Triangle de côtés 6, 8 et 10 : 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Égalité : le triangle est rectangle. Triangle de côtés 5, 6 et 8 : 8² = 64 et 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Pas d'égalité : le triangle n'est pas rectangle.
💡 La rédaction attendue au brevet : nommer le triangle et l'angle droit, citer le théorème, écrire l'égalité, calculer, conclure avec l'unité. « Dans le triangle ABC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². Donc BC² = 36 + 64 = 100, et BC = 10 cm. » Pour la réciproque, on écrit les deux calculs séparément avant de conclure : on ne doit pas poser l'égalité qu'on cherche à prouver.
À quelle classe ça s'apprend ?
Le théorème de Pythagore est au programme de 4e : énoncé, calcul d'une longueur, réciproque et contraposée (prouver qu'un triangle n'est pas rectangle). En 3e, il est réinvesti dans les problèmes du brevet, souvent combiné avec Thalès ou la trigonométrie, et dans l'espace.
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