La proportionnalité est partout dans la vie quotidienne — les prix, les recettes, les vitesses, les échelles de cartes — et c'est le chapitre qui relie le calcul du primaire aux mathématiques du collège. La difficulté n'est pas de calculer mais de choisir une méthode et de savoir quand la situation est proportionnelle. Cette fiche A4 donne le test de reconnaissance, puis les trois méthodes du programme, de la plus intuitive (passer par l'unité) à la plus formelle (le produit en croix).
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. 3 cahiers coûtent 6 €, 5 cahiers coûtent 10 €, 8 cahiers coûtent 16 € : on multiplie toujours par 2.
Le test en deux questions : si je prends le double, est-ce que j'obtiens le double ? Et si je prends zéro, est-ce que j'obtiens zéro ? Si l'une des deux réponses est non, ce n'est pas proportionnel.
Ce qui n'est pas proportionnel : l'âge et la taille (à 20 ans on ne mesure pas deux fois plus qu'à 10 ans), un abonnement avec un prix fixe (5 € d'inscription puis 2 € par livre : 0 livre ne coûte pas 0 €), l'aire d'un carré par rapport à son côté (un côté doublé donne une aire quadruplée).
1. Le passage par l'unité (CM1) : si 3 cahiers coûtent 6 €, un cahier coûte 6 ÷ 3 = 2 €. Donc 7 cahiers coûtent 7 × 2 = 14 €. C'est la méthode la plus sûre et la plus naturelle : elle marche toujours.
2. Les propriétés du tableau (CM1-CM2) : on peut additionner deux colonnes (3 cahiers + 4 cahiers = 7 cahiers, donc 6 € + 8 € = 14 €) ou multiplier une colonne par un nombre (3 cahiers × 2 = 6 cahiers, donc 6 € × 2 = 12 €).
3. Le coefficient de proportionnalité (CM2-6e) : on cherche le nombre qui transforme la première ligne en la deuxième. Ici 6 ÷ 3 = 2 : le prix est toujours le nombre de cahiers × 2. 7 × 2 = 14 €.
4. Le produit en croix (5e) : dans un tableau de proportionnalité, les produits en diagonale sont égaux. Si 3 correspond à 6 et 7 à x, alors 3 × x = 6 × 7, donc x = 42 ÷ 3 = 14. C'est la méthode la plus rapide quand les nombres ne tombent pas juste, mais elle ne doit pas remplacer la compréhension.
Les applications du programme
Les recettes : pour 4 personnes il faut 200 g de farine ; pour 6 personnes, 300 g (passage par l'unité : 50 g par personne).
Les échelles : sur une carte au 1/100 000, 1 cm représente 100 000 cm, soit 1 km. 3,5 cm sur la carte font 3,5 km.
Les vitesses (6e-5e) : à 60 km/h, on parcourt 60 km en 1 h, 30 km en 30 min, 90 km en 1 h 30.
💡 Le réflexe du « pour un » : quand l'enfant ne sait pas par où commencer, lui faire chercher la valeur pour une unité (un cahier, une personne, une heure). Presque tous les problèmes de proportionnalité du primaire se débloquent ainsi.
À quelle classe ça s'apprend ?
La proportionnalité est introduite au CM1 avec le passage par l'unité et les propriétés d'addition et de multiplication du tableau. Le CM2 ajoute le coefficient de proportionnalité, les échelles et les premiers pourcentages. La 6e formalise le tableau et les vitesses ; la 5e introduit le produit en croix.
S'entraîner en s'amusant
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